Definition der Dachfunktion
![]() |
|
Die Dachfunktion besteht aus zwei linearen Teilen. |
Nullstellen: x = 0 und x =1
Graphen:
für
l = 0,7
1. Ableitung: | ![]() ![]() |
Fixpunkte: | Bei Fixpunkte gilt: f(x) = x x = lx Þ x (1-l ) = 0 Þ x = 0 ist die 1. Lösung, außer l = 1, dann sind alle x-Werte jeweils ihr Fixpunkt. x = l- lx Þ x (1+l) = l Þ x = ![]() Es gibt die Fixpunkte z1 = 0 für x £ ![]() ![]() ![]() |
für l<1 ist f'(z1)
< 1 Þ z1
ein Attraktor
für l<1 ist z2
= ,
x <
Þ kein
Fixpunkt
Spezial Fall: Für x0 = 1 ist f(1)
= 0, f(0) = 0, dies bedeutet, daß nach einer Iteration der Wert fest bleibt
( Fast-1-Fixpunkt ).
Beispiel:
Bei diesem Beispiel ist l = 0,7 und die zwei
Startwerte sind x1 = -0,4; x2 = 0,4.
![]() |
|
x1 und x2 streben gegen 0 |
für ein l = 1 ist jeder x-Wert £
ein Fixpunkt. Jeder x-Wert >
ist ein Fast-1-Fixpunkt und bleibt nach der der 1. Iteration fest.
für x >
: f (x0) =1-x0 <
,
f² (1-x0) = 1-x0
Beispiel:
Bei diesem Beispiel ist l = 1 und die zwei
Startwerte sind x1 = 0,6; x2 = 0,8.
f(x1)=1-0,6 = 0,4
f(x2)=1-0,8 = 0,2
![]() |
|
x1 strebt gegen 0,4; |
Bei der Untersuchung von höhren Perioden erhält
man weitere Fixpunkte:
Fixpunkte: |
Bei Fixpunkte der zweiten Periode gilt: f
l (x) ¹ x und f
l (f l (x))
= x |
Beispiel:
Bei diesem Beispiel ist l = 1.5 und daraus
ergibt sich einen Startwert 6/13 für den Fixpunkt der zweiten Periode.
Nach der Iteration ergibt sich der Wert 9/13.
![]() |
|
x Pendelt zwischen 6/13 und 9/13 |
Beispiel:
In diesem Beispiel ist l = 2.
Für die erste Iteration gilt:
Die Fixpunkte sind z1 = 0 und z2
= 0.6666..
Bei der nächsten Iteration gibt es dann vier verschiedene Fälle:
1. Fall 2(2x) = 4x / 2. Fall 2-2(2x) = 2-4x / 3.Fall 2-2(2-2x) = -2-4x / 4.
Fall 2(2-2x) = 4-4x
Die Fixpunkte sind z1 = 0; z2
= 0,4; z3 = 0,666..; z4
= 0,8
![]() |
![]() |
|
f(x) | f(f(x)) |
Nun stellt sich heraus, daß die Winkelhalbierende jede Teilstrecke von fk(x) genau einmal schneidet. Weil die n-te Iteration sich aus genau 2k Teilstrecken zusammensetzt, gibt es 2k Fixpunkte.
Beispiel:
In diesem Beispiel ist l = 3.
Für die erste Iteration gilt:
Graphen:
für
l = 3
Nach der ersten Iteration der Menge 0 £x0
£ 1, gibt es eine Menge für die gilt y
> 1 und y < 0. Diese wird für die zweite Iteration ausgschloßen,
da x1 >1 ist und gegen ¥
strebt.
![]() |
|
Auf der y-Achse werden die Werte der 1. Iteration aufgetragen, die nicht gegen ¥ streben. Es läßt sich dadurch graphisch die Startwerte auf der x-Achse der 2. Iteration ermitteln, die nach der 2. Iteration sich im Einheitsintervall befinden. |
Setzt man die Iterationen bis ins Unendliche fort,. so bleibt die CANTOR
- MENGE übrig.
Definition: |
Man konstruiert eine Teilmenge des Intervalls [0,1] und entfernt im ersten
Schritt das offene mittlere Drittel [1/3,2/3] von der Teilmenge [0,1],
dabei erhält man [0,1/3] und [2/3,1]. Im zweiten Schritt wird aus
den beiden Intervallen das mittlere Drittel entfernt.. |
Beobachtungen: | Ck besteht aus 2k abgeschlossenen
Intervallen der Länge 3-k, die man als Ck-Intervalle
bezeichnet und es gilt ![]() |
Gesamtlänge von C: | Für die Berechnung der Gesamtlänge einer
Menge Ck multipliziert man die Anzahl der Intervalle mit der
Länge: L(Ck) = 2k *3-k = (2/3)k. ![]() |
Es gibt eine weitere Möglichkeit die Cantor-Menge darzustellen:
![]() |
|
Graphen: | ![]() |
Nach einer weiteren Iteration ist die Funktion durch folgende Gleichung definiert: | |
![]() |
|
Verallgemeinert man diese Funktion, dann kann man beliebige Cantor-Mengen erstellen: | |
![]() |