Die Logistische Funktion:

Der Forscher Holländer Verhulst suchte eine Formel für die Entwicklung von Tierpopulationen. Die Tierpopulationen können entweder ein chaotisches Verhalten zeigen, oder über hundert Millionen Jahre stabil sein, wie zum Beispiel die Haie. Andere Arten wie die Saurier sterben plötzlich aus oder wie die in Australien ausgesetzten Kaninchen vermehren sie sich schlagartig. Lemminge haben einen Vier-Jahres-Rhytmus. Viele Populationen erscheinen dagegen in ganz unregelmäßigen Abständen.
Verhulst vereinfachte das Model sehr stark, dabei betrachtet er eine Art die nur von der Nahrungskette abhängt und nicht durch natürliche Feinde bedroht ist. Man muß sich vorstellen, dass die Spezie auf einer verlassenen Insel ausgesetzt wird. Weiterhin wird angenommen, dass die Population eines Jahres nur von der Anzahl der Tiere im Vorjahr abfängt. Das geeignete Tier für das Modell sind die Insekten, da sie alle Bedingungen erfüllen. Sie leben im Sommer, legen ihre Eier und sterben später. Nächstes Jahr schlüpfen aus den Eiern die nächste Generation. Wie lautet nun die Gleichung?

1. Schritt:
Man braucht eine Variable m für die Nachkommen:

zn = mza	zn die Anzahl der Tiere für das neue Jahr, za für das alte Jahr
Ist m<0 nimmt die Population ab. Ist m>0 nimmt die Population zu.

2. Schritt:
Nun kann eine Population nicht ewig ansteigen, da irgendwann ein Teil der Tiere nichts mehr zu fressen findet und dann wieder sterben. Dies muß durch ein Faktor berücksichtigt werden. z_m ist dabei ein Maximalwert der nie erreicht wird, da je größer die Anzahl der Insekten wird, verringert sich der Faktor.

3. Schritt:
Am Schluß teilte Verhulst beide Seiten durch z_m. Das hat den Effekt , dass ein Anteil ausgerechnet wird statt einer absoluten Zahl. ( Beispiel: ein drittel der Deutschen tragen eine Brille statt 26,66 Millionen Deutsche ):

f(x) = mx(1-x)

f(x) = , x =

Das Feigenbaum-Diagramm kann man mit dem Computer aus der logistischen Funktion f(x) = mx(1-x) erstellen. Das Feigenbaum-Diagramm zeigt ab einen bestimmten Bereich ein chaotisches Verhalten.

Nullstellen: x = 0 und x = 1

Graphen:
                       für m = 3

1. Ableitung: f(x) = mx(1-x) Þ f'(x) = m -2mx      f'(x) = 0 Þ x = 1/2    
Die Funktion ist eine nach unten geöffnete Parabel.

Fixpunkte:

Bei Fixpunkte gilt: f(x) = x x = mx(1-x) | : x ( x = 0 ist die 1.Lösung ) 1 = m(1-x) Þx = ist die 2.Lösung Es gibt nun zwei Fixpunkte: z1 = 0 und z2 = . f'(z1) = m und

• 0 < m £ 1

für m<1 ist f'(z₁) < 1 Þ z₁ ein Attraktor
für m<1 ist f'(z₂) > 1 Þ z₂ ein Repellor

Der Einzugsbereich von z₁ ist von < x < 1-.

für:	x <
	< x < 1-
	x >1-

Beispiel:

Bei diesem Beispiel ist m = 0,85 und die drei Startwerte sind x₁ = 0,8; x₂ = 1,1; x₃ = 1,3. Daraus ergibt sich der Einzugsbereich von -0.1747 < x < 1.1764 für den Fixpunkt z₁.

x1 und x2 streben gegen 0

x3 strebt gegen ¥, da x3 außerhalb des Einzugsbereich ist.

• m =1

Bei m = 1 existiert nur ein Fixpunkt, da der Punkt z₂ = in den Ursprung fällt.
Þf'(z₁) = 1
Der Einzugsbereich von z₁ ist von 0 £ x £ 1

m > 1

Für ein m >1 sind alle interessante x -Werte im Intervall [0,1].
Für alle x₀ < 0 und x₀ > 1 gilt
Für alle 0<x₀ <1 gilt

• 1<m < 3

Im Bereich 1< m< 3 gibt es genau zwei Fixpunkte z₁ und z₂ , nämlich den Ursprung und den Punkt z₂ .
für 1< m< 3 ist f'(z₁) > 1 Þ z₁ ein Repellor , da gilt m >1
für 1< m< 3 ist f'(z₂) < 1 Þ z₂ ein Attraktor, da |2- m| < 1 ist.

Bei diesem Beispiel ist m = 2,3 und der Startwert x₁ = 0,01. Daraus ergibt sich für z₂ = 0,5652.

	x1 strebt gegen z2	xn pendelt gegen den x-Wert des Fixpunktes bei zunehmender Iteration

• m > 3

Die Fixpunkte der ersten Periode erweisen sich als abstoßen.
für m > 3 ist f'(z₁) > 1 Þ z₁ ein Repellor, da gilt m >1
für m > 3 ist f'(z₂) > 1 Þ z₂ ein Repellor, da |2- m| > 1 ist

Bei der Untersuchung der zweiten Periode erhält man zwei weitere Fixpunkte:

f²(x) = f( f(x)) = m²x(1-x)[1-mx(1-x)] = m²x(1-x)[1-mx(1-x)]

Graphen:
	für m = 3 1. und 2. Periode

Untersuchung der Fixpunkte:

|f²'( z_3/4)| = |m²-2 m-4|

Nun wird überprüft für welches m > 3 die Fixpunkte Attraktoren oder Repelloren sind.
Attraktoren: |m²-2 m-4| = |(m-1)²-5| < 1 Þ |(m-1)²-5|-1 < 0
Repelloren: |m²-2 m-4| = |(m-1)²-5| >1 Þ |(m-1)²-5|-1 > 0

Auflösen der Betragsstriche:

1.Fall:	(m-1)²-5 > 0 Þ m > 1+ ( m > 1- existiert nicht, da m > 3 ist )
2.Fall:	(m-1)²-5 < 0 Þ m < 1+
3.Fall:	(m-1)²-5 =0 Þ m =1+ |f²'( z3/4)| = 0 < 1 Þz3/4 sind Attraktoren

Zusammenfassung:
Im Bereich 3 <m < 1+ gibt es genau 4 Fixpunkte der zweiten Periode, nähmlich den Ursprung 0, den Punkt x = und die Punkte , wobei die Fixpunkte z_1/2 abstoßend sind und die Fixpunkte z_3/4 anziehend sind.

Beispiel:

Bei diesem Beispiel ist m = 3,2 und der Startwert ist x₁ = 0,01. Die Fixpunkte haben folgende Werte:
z₂ = 0,6875 ist abstoßend
z₃ = 0,513 ist anziehend
z₄ = 0,8 ist anziehend

	x1 pendelt zwischen den beiden x-Werten der Fixpunkte z3/4 bei zunehmender Iteration

Für ein m >1+ müssen anziehende Fixpunkte von höhren Perioden bestimmt werden. Die dafür erforderlichen Rechnungen werden extrem aufwendig, die nur mit Hilfe des Computers bestimmt werden können. Dabei kommt man zu dem Ergebnis, daß es für f³(x) keine anziehenden Fixpunkte gibt ( im Bereich 1 < m < m_¥ ). Erst f⁴(x) liefert 4 weitere Fixpunkte.

Beispiel:

Bei diesem Beispiel ist m = 3,6 und es werden die Funktionen f(x,)f²(x),f⁴(x),x_n dargestellt

	Xn pendelt zwischen den vier anziehenden Fixpunkte der 4 Periode hin und her.

Feigenbaum - Graphik

Nun wird das Koordinatensystem gewechselt, anstatt eines ( n,x_n )-Koordinatensystems wird ein ( m,x_n )-Koordinatensystem verwendet. Dies bedeutet, es werden alle x_n-Werte der anziehenden Fixpunkte in Abhängigkeit von m abgetragen. Möglichst viele x-Werte werden aus [0,1] unendlich oft iteriert und der dabei gefundene Grenzwert wird in einem Diagramm aufgetragen. Diesen realen Grenzwert wird künfitg y genannt. Nach seinem Entdecker bezeichnet man das ( m,y) - Diagramm als FEIGENBAUM. Der Einsatz des Computers ist dabei unausweichlich.

Das Feigenbaum - Diagramm:

• 1<m < 3

In diesem Bereich gibt es einen anziehenden Fixpunkt z = = und einen abstoßenden Fixpunkt, den Ursprung. Schreibt man z = als Funktion y = , dann ist dies eine steigende Hyperbel mit dem Mittelpunkt (0,1). Die Asymptoten haben die Gleichung m = 0 und m=1.

• 1<m < 1+

Für diesen Bereich gibt es zwei anziehende Fixpunkte, dabei kommt es zu einer Aufspaltung des Hyperbelastes in zwei Teile. Dies ist eine Gabelung, anders gesagt, eine Bifurkation oder eine Periodenverdoppelung.

• 1+ < m

Bei m =1+ kommt es zu weiteren Verdoppelungen, da die 4 Periode vier anziehende Fixpunkte hat. Mit wachsendem m erscheinen immer neue Verdoppelungen ( Kaskaden ), die immer näher zusammenrücken. Auch die Abstände d_i der Gabelzinken nehemen ab. Mit dem Computer lassen sich die Existenz zweier Grenzwerte nachweisen:
Grenzwerte:

Das Feigenbaum-Diagramm:
	Die Bifurkation kann man bis m¥ = 3.5699.. beopachten. Für ein größeres m springen die xn-Werte durcheinander, so lassen sich keine Vorhersagen mehr treffen. Dies wird als CHAOS bezeichnet. Die Bifurkationsphase stellt einen Übergang von der Ordnung zum Chaos dar.
	Wenn man das Feigenbaum-Diagramm genauer betrachtet entdeckt man innerhalb des Bereiches m¥<m < 4 hellere Streifen, Fenster. In diesen Fenster sind Brücken und wenn man diese Brücken vergrößert, ensteht ein neuer Feigenbaum.
	Durch die Vergrößerung einer Brücke z.B. innerhalb des blauen Fensters ensteht ein neuer kleiner Feigenbaum. Dieser vergrößerte Feigenbaum hat den Bereich von 3,838<m < 3,8569. Nun könnte man wieder eine Brücke herausgreifen und vergrößern. Es ensteht also ein Blick ins UNENDLICHE.
	x [3.569831;3.569890] y [0.841610;0.841624]