Definition:

Sei f ein Polynom vom Grad ³2. Die Menge derjenigen zÎC, für welche die Iterationsfolge (fk(z)) beschränkt bleibt, heißt ausgefüllte Julia Menge von f:
K = K(f) = {zÎC|(fk(z)) ist beschränkt}

Der Rand von K(f) wird mit J(f) bezeichnet und heißt Julia-Menge von f:
J(f): = dK(f)
Wenn keine Verwechslungen zu befürchten ist, wird K(f) auch als Julia-Menge bezeichnet.

Fluchtschranken von f(z) = z2+c:

Außerhalb des Kreises um 0 mit dem Radius r strebt die Iterationsfolge zk+1 = fk(zk) gegen ¥.

Eine Zahl r>0 mit dieser Eigenschaft nennt man Fluchtschranke von f.

Die wichtigste Fluchtschranke
Auf die Fluchtschranke r wird man geführt, wenn man nach einer möglichst kleinen Zahl p>0 sucht, für die gilt:
|z| > p Þ |fc(z)| > p. Für |z| > p erhält man:
|fc(z)| = |z2+c| ³ |z|2-|c| (Dreiecksungleichungen)
p2-|c| = p
und als positive Lösung von p2-p-|c| = 0 erhält man:

Die Fluchtschranke ist somit immer größer als 1
Sei nun |z| > r; dann erhält man:
|fc(z)| ³ |z|2-|c| Þ |z|2- |c| = [r+(|z|-r)]2-|c| = r2-|c|+2(|z|-r)+(|z|-r)2
r = r2-|c|
|fc(z)|-r ³ 2r(|z|-r) ³ 2(|z|-r) für |z|>r
Wegen |fc(z)|>r gilt auch |fc2(z)|-r ³ 2r(|fc(z)|-r)³ 22(|z|-r), und damit für |z|>r
|fck(z)|³r+2k(|z|-r) ® ¥ (k®¥)

Beispiel:
f(z) = z2+(4+31)

r = 2,79 ist somit die kleinste Fluchtschranke. Jedes r größer als 2,79 ist auch eine Fluchtschranke. Dies ist später für die grafische Wiedergabe wichtig.

Beschränktheit von K(f):

Ist r eine Fluchtschranke von f, so gilt:
K(fc) liegt also ganz in der Kreisscheibe {z| |z| < r}

Die Julia-Menge wird nun mit Hilfe der Fluchtschranke definiert:
zÎK(f) Û |fk(z)| £ r für alle kÎN0

Symmetrieeigenschaften:

K(fc) ist punktsymmetrisch zum Ursprung wenn gilt: zÎK(fc) Û -zÎK(fc)
fc(-z) = (-z)2+c = fc(z)
(fck)(-z) = (fc)k-1(fc(-z)) = (fc)k-1(fc(z)) = (fck)(z)
Die Folge (fck(-z)) ist also genau dann beschränkt, wenn (fck(z)) beschränkt ist:
zÎK(fc) Û -zÎK(fc)

K(fc) für c = 0.5+i0.5





K(fc) für c = 0.25+i0.53 K(fc) für c = 0.25-i0.53