Charaktersierung von der Mandelbrot-Menge:

Die Mandelbrot-Menge ist definiert:
Die ausgefüllte Julia-Menge K(f_c) von f_c(z) = z²+c kann in Abhängigkeit von c zusammenhängend sein oder nicht. Alle c-Werte, für die K(f_c) zusammenhängend ist, nennt man Mandelbrot-Menge.
M = {cÎC|K(f_c) zusammenhängend}
cÎM Û K(f_c) zusammenhängend Û (f_c^k(c)) beschränkt oder (f_c^k(0)) beschränkt
Die bekannteste Figur der Mandelbrot-Menge ist das Apfelmänchen, dabei ist z₀ = 0. Für andere Startwerte zeigen sich Bilder, die dem Apfelmänchen um so ähnlicher sind, je kleiner |z₀| ist.
Der Orbit von 0
Wegen f_c^k(0) = c ist K(f_c) genau dann zusammenhängend, wenn 0ÎK(f_c), wenn der Orbit von 0 beschrängt ist.
0, f_c(0) = c, f_c²(0) = f_c(c) = c²+c, f_c³(0) = f_c(c²+c) = c⁴+2c³+c²+c,....

Beschränktheit:

Für die Folge (f_c^k(z)) mit dem Anfangswert z = c und |c| > 2 gilt:

Beweis:
Mit c₁ = c²+c und |c|>2 gilt

also |c₁| > |c|.

also |c₂| > |c₁|.
Man kann sagen, dass (z_k) gegen den Punkt ¥ strebt für |c| > 2. Die Mandelbrot-Menge liegt also in der Kreisscheibe |c| £ 2.

Schnitt mit der reellen Achse:

M schneidet die reelle Achse im Intervall [-2;1/4]
Beweis: c ist eine reelle Zahl. Im Fall c > 1/4 verläuft die Parabel f_c(z) = z² + c ganz oberhalb der Winkelhalbierenden und berührt die Winkelhalbierende für c = 1/4. Im Fall c £ 1/4 ist der größere Fixpunkt von f_c. Er bestimmt im Koordinatensystem ein Quadrat mit den Seitenmitten (±z,0) und (0;±z). Für -2 £ c £ 1/4 liegt die Parabel f_c(z) = z² + c ganz in diesem Quadrat, während sie für c < -2 das Quadrat nach unten durchstößt. Für die Folgenglieder f_c^k(0) gilt deswegen für k®¥:

c > 1/4	fck(0)®¥	Þ c Ï M
-2 £ c £ 1/4	fck(0)Î[-z,z]	Þ c Î M
c < -2	fck(0)®¥	Þ c Ï M

Þ

Symmetrie zur reellen Achse:

Aus 0, f_c(0) = c, f_c²(0) = f_c(c) = c²+c, f_c³(0) = f_c(c²+c) = c⁴+2c³+c²+c,.... erkennt man, dass f_c^k(0) = cⁿ+a_n-1+...+a₂c²+c ein Polynom in c vom Grad n = 2^k-1 mit reellen Koeffizienten ist. Für den konjugierten komplexen Wert von f_c^k (0) gilt deshalb: